Проверка правильности функционирования разработанного ПО (корректности, устойчивости) и удовлетворение его требованиям спецификаций осуществляются на этапе отладки или тестирования. Как правило, основным фактором отладки является затраченное на нее время. Поэтому в ряде моделей оценивания надежности программ наряду с необходимым временем их функционирования при решении конкретных задач рассматривается и второй временной фактор-время отладки этих программ до использования по назначению.

Для удобства анализа показателей надежности сложных ПК целесообразно представить их в виде совокупности менее сложных составляющих, обычно называемых программными модулями (ПМ). Программный модуль, в свою очередь, может быть разделен на более мелкие части и т.д. Таким образом, ПМ является аналогом элемента расчета теории надежности. Обычно он представляет собой логически самостоятельную программу и вводится, исходя из соображений исследователя [3].

При исследовании надежности функционирования ПК обычно необходимо решать две задачи. Первая - по заданной структуре ПК, состоящего из некоторой совокупности ПМ, имеющих показатели надежности, найти показатель надежности ПК. Эту задачу традиционно назовем прямой.

Наряду с первой может решаться вторая задача-достижение максимального (минимального) значения показателя надежности при ограничениях на ресурсы, в качестве которых выступают время, стоимость и др. Или может решаться задача минимизации величины ограничения при достижении требуемого (заданного) значения показателя надежности. Любую из этих задач будем называть обратной.

Постановка задачи. Дан ПК, состоящий из М отдельных модулей, соединенных между собой. По структуре ПК строится стохастический граф, содержащий М+2 вершин. Вершина 0 означает исток, а вершина М+1 -сток графа. Каждый ПМ вызывается на решение с заданной вероятностью, исходя из цели функционирования или значений исходных данных.

Прямая задача заключается в нахождении вероятности безошибочного решения задачи ПК, если известны вероятности безошибочных решений задач всех ПМ. Обратная задача заключается в нахождении максимума вероятности безошибочного решения задачи ПК при ограничении на общее время отладки всех ПМ, а также в определении минимального времени отладки всего ПК при заданной вероятности его безошибочного функционирования.

Прямая задача. Для определения вероятности безошибочного решения задачи ПК воспользуемся методом расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявки в сети массового обслуживания (МО) [4]. Однако непосредственно в том виде, как описано в указанной статье, метод не приемлем, так как в сети МО времена пребывания заявок в модулях суммируются. В нашей же задаче должен выполняться принцип слабого звена, свойственный основному соединению элементов в теории надежности. Поэтому неправильно применять преобразования Лапласа плотностей распределений времени до ошибок в модулях. Необходимо вместо них поставить вероятности правильной работы соответствующих модулей, производящих вычисления на заданных временных интервалах. При этом мы предполагаем, что модули статистически независимы.

Рассмотрим матрицу

элементами которой являются произведения

где P_ij-вероятность перехода от i -го ПМ к j -му, а P_i(t_i) -вероятность безошибочного функционирования i-го ПМ в течение времени t_i.

Так как 0-ая и М+1-ая вершины фиктивные, то предполагаем, что время нахождения в них равно нулю, а вероятности безошибочной работы - единице.

Введем понятие шага, подразумевая под ним единичный переход от одного ПМ к другому. Чтобы найти вероятности безошибочной работы за два шага, нужно просуммировать с соответствующими вероятностями произведения вероятностей по всем путям, содержащим две вершины (одна из них нулевая). Это достигается возведением матрицы G в квадрат. При возведении G в куб получаем вероятности безошибочного функционирования за три шага и т.д.

Построим матрицу

     (1)

где L - единичная матрица.

Элемент матрицы T с номером (0,M+1) представляет собой выражение для вероятности безошибочной работы всего ПК с учетом всех возможных последовательностей вызовов отдельных ПМ.

В соответствии с правилами вычисления значений элементов обратной матрицы [5], выражение для вероятности безошибочной работы ПК можно представить в виде

     (2)

где Q(t)- алгебраическое дополнение элемента с номером (М+1,0) матрицы (L – G(t)); R(t) главный определитель матрицы (L – G(t)).

Выполнив указанные преобразования, получим искомое выражение для вероятности безошибочного функционирования ПК с учетом задействования всех возможных маршрутов вычислений.

Обратная задача. Определим минимальное время отладки ПК при заданной вероятности его безошибочного функционирования P зад. Процесс отладки i -го ПМ обычно определяется временем его отладки В известных аналитических и эмпирических моделях оценивания надежности ПМ [2] параметр как и параметр t_i - заданное время работы i -го модуля, входят в соответствующее выражение для показателя надежности ПМ. При этом предполагается, что оценки искомых показателей являются детерминированными известными выражениями, определяемыми по результатам испытаний. Подобных моделей множество, рассмотреть их все здесь невозможно. В качестве примера, не нарушая общности подхода, приведем лишь одну из самых ранних моделей - модель Мусы.

Вероятность безошибочной работы i -го ПМ, согласно данной модели, можно выразить следующей формулой:

     (3)

где - интенсивность проявления ошибки; - интенсивность отладки; и - время вычислений и отладки модуля.

Обычно - начальное среднее время безошибочной работы модуля; - коэффициент сжатия времени отладки (тестирования) по сравнению с временем вычислений, - первоначальное (предполагаемое) число ошибок в модуле.

Найдем минимальное время отладки ПК

при котором

предполагая, что для ПМ справедливо (3). Решение получим на основе метода неопределенных множителей Лагранжа [6]. Запишем функцию Лагранжа

     (4)

где - множитель Лагранжа.

Тогда, дифференцируя (4) по аргументам и g и приравнивая полученные выражения к нулю, получим систему уравнений:

     (5)

Решив (5) относительно получим

Определим максимальное значение вероятности безошибочного функционирования ПК при заданном времени его отладки. Будем искать максимум функции  P(t,t) при заданном времени отладки . Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

     (6)

Дифференцируя (6) по и и приравнивая к нулю, получим систему уравнений:

     (7)

Решая (7), находим искомые значения а подставляя их в выражение для P(t,t), найдем максимальное значение вероятности безошибочного функционирования ПК.